Question

14．已知x，y满足直线l：x+2y=6．
（1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标；
（2）当x∈[1，3]时，求$k=\frac{y-1}{x-2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标．
（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．

解答 解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），
则满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=2}\\{\frac{a}{2}+2×\frac{b}{2}=6}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{12}{5}$，b=$\frac{24}{5}$，故$P（\frac{12}{5}，\frac{24}{5}）$；
（2）当x∈[1，3]时，$k=\frac{y-1}{x-2}$的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．
当x=1时，y=$\frac{5}{2}$，当x=3时，y=$\frac{3}{2}$，
由可得A（1，$\frac{5}{2}$），B（3，$\frac{3}{2}$），
从而k_BC=$\frac{\frac{3}{2}-1}{3-2}$=$\frac{1}{2}$，k_AC=$\frac{1-\frac{5}{2}}{2-1}$=-$\frac{3}{2}$，
∴k的范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．