题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,左准线方程为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线交椭圆
于
,
两点.
①若直线经过椭圆
的左焦点
,交
轴于点
,且满足
,
.求证:
为定值;
②若(
为原点),求
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)①
②
【解析】试题分析:(1)根据左焦点坐标得,根据左准线方程得
,解方程组得
,(2)①以算代证:即利用
,
坐标表示
,根据直线
的方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理化简
得定值,②
的面积
,因此根据直线
的方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理及弦长公式求
(用
斜率表示),同理可得
,代入面积公式化简可得
.最后利用二次函数方法求值域,注意讨论斜率不存在的情形.
试题解析:解:(1)由题设知,
,
,
,
,
:
.
(2)①由题设知直线的斜率存在,设直线
的方程为
,则
.
设,
,直线
代入椭圆得
,整理得,
,
,
.
由,
知
,
,
(定值).
②当直线,
分别与坐标轴重合时,易知
的面积
,
当直线,
的斜率均存在且不为零时,设
:
,
:
,
设,
,将
代入椭圆
得到
,
,
,同理
,
,
的面积
.
令
,
,
令,则
.
综上所述, .
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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