题目内容
【题目】已知椭圆
： 
（
）的左焦点为
，左准线方程为
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）已知直线
交椭圆
于
， 
两点.
①若直线
经过椭圆
的左焦点
，交
轴于点
，且满足
， 
.求证： 
为定值；
②若
（
为原点），求
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）①
②
【解析】试题分析：（1）根据左焦点坐标得
，根据左准线方程得
，解方程组得
，（2）①以算代证：即利用
， 
坐标表示
，根据直线
的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理化简
得定值，②
的面积
，因此根据直线
的方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理及弦长公式求
（用
斜率表示），同理可得
，代入面积公式化简可得
.最后利用二次函数方法求值域，注意讨论斜率不存在的情形.
试题解析：解：（1）由题设知
， 
， 
，
， 
，
： 
.
（2）①由题设知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，则
.
设
， 
，直线
代入椭圆得
，整理得，
， 
， 
.
由
， 
知
， 
，
（定值）.
②当直线
， 
分别与坐标轴重合时，易知
的面积
，
当直线
， 
的斜率均存在且不为零时，设
： 
， 
： 
，
设
， 
，将
代入椭圆
得到
，
， 
，同理
， 
，
的面积
.
令
， 
，
令
，则
.
综上所述， 
.
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