题目内容
已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)x=-1 (2)存在,其方程为2x+y-1=0.
(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由,得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
另一方面,由直线OA到l的距离d=可得=,解得t=±1.
因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由,得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
另一方面,由直线OA到l的距离d=可得=,解得t=±1.
因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
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