Question

已知函数f(x)＝ax＋ln x(a∈R)．

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝2^x，若对任意x₁∈(0，＋∞)，存在x₂∈[0,1]，使f(x₁)＜g(x₂)，

求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)f′(x)＝1＋(x＞0)，f′()＝1＋2＝3.

故曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率为3.

(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．

①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，

所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－，

在区间上f′(x)＞0，在区间上f′(x)＜0.所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(3)由题可知，若对任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，转化为[f(x)]_max＜[g(x)]_max，而[g(x)]_max＝2.

由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e³)＝ae³＋3＞2，故不符合题意．)

当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.

所以，a的取值范围为