Question

6．下列命题中所有正确的命题是①③．
①函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过点P（1，4）；
②函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（2，4）；
③已知f（x）=x⁵+ax³-bx-8，且f（2）=-8，则f（2）=-8；
④已知2^a=3^b=k（k≠1）且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=-1，则实数k=18．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象和性质，可判断①；根据抽象函数的定义域，可判断②；根据函数的奇偶性，可判断③；根据对数的运算性质，可判断④．

解答 解：当x=1时，a^x-1+3=4恒成立，故函数f（x）=a^x-1+3（a＞0且a≠1）的图象一定过点P（1，4），故①正确；
函数f（x-1）的定义域是（1，3），则x-1∈（0，2），即函数f（x）的定义域为（0，2），故②错误；
令g（x）=x⁵+ax³-bx，则函数为奇函数，由f（2）=-8，得g（2）=0，故g（-2）=0，故f（2）=-8，故③正确；
若2^a=3^b=k，则a=log₂k，b=log₃k，则$\frac{1}{a}$=log_k2，$\frac{2}{b}$=2log_k3，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=log_k18=-1，则k=-$\frac{1}{18}$，故④错误；
故正确的命题有：①③，
故答案为：①③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，抽象函数的定义域，函数的奇偶性，对数的运算性质，难度中档．