题目内容

给出下列四个命题:
①若|
a
b
|=|
a
|•|
b
|
,则
a
b

(
b
c
)
a
-(
c
a
)
b
c
不垂直;
③在△ABC中,三边长BC=5,AC=8,AB=7,则
BC
CA
=20

④设A(4,a),B(b,8),C(a,b),若OABC为平行四边形(O为坐标原点),则∠AOC=
π
4

其中真命题的序号是
①④
①④
(请将你正确的序号都填上).
分析:①由|
a
b
|=|
a
|•|
b
|,知θ=0或θ=π,得
a
b

②由[(
b
c
a
-(
c
a
b
]•
c
=0,得(
b
c
a
-(
c
a
b
c
垂直.
③由余弦定理求出cosC,用向量的数量积公式求
BA
CA

④由向量相等可得命题正确.
解答:解:①∵|
a
b
|=|
a
||
b
||cosθ|=|
a
|•|
b
|,∴|cosθ|=1,∴θ=0或θ=π,
a
b
,命题正确;
②∵[(
b
c
a
-(
c
a
b
]•
c
=0,∴(
b
c
a
-(
c
a
b
c
垂直,∴原命题不正确;
③由余弦定理得,cosC=
52+82-72
2×5×8
=
1
2
,∴
BA
CA
=5×8×cos(π-C)=5×8×(-
1
2
)=-20,∴原命题错误;
④由题意得:
OA
=(4,a),
CB
=(b-a,8-b),
∵四边形OABC是平行四边形,∴
OA
=
CB
,∴
b-a=4
8-b=a
,解得
a=2
b=6
,∴
OA
=(4,2);
OC
=(2,6),∴
OA
OC
=8+12=20,
OA
OC
=|
OA
||
OC
|cos∠AOC=2
5
×2
10
×cos∠AOC=20
2
cos∠AOC;
∴cos∠AOC=
2
2

∵0<∠AOC<π,∴∠AOC=
π
4
;命题正确.
所以,真命题的序号是 ①④.
故答案为:①④.
点评:本题利用命题真假的判断,考查了平面向量的综合应用知识,是中档题.
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