题目内容
【题目】设函数,f(x)=|x﹣a|
(Ⅰ)当a=2,解不等式,f(x)≥5﹣|x﹣1|;
(Ⅱ)若f(x)≤1的解集为[0,2],+
=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.
【答案】解:(Ⅰ)当a=2,不等式f(x)≥5﹣|x﹣1|,即|x﹣2|+|x﹣1|≥5.
由绝对值的意义可得,|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到1、2的距离之和,而﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5,
故|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集为(﹣∞,﹣1]∪[4,+∞).
(Ⅱ)由f(x)≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1,求得 a﹣1≤x≤a+1,
再根据f(x)≤1的解集为[0,2],可得a=1.
故有 +
=1(m>0,n>0),∴m+2n=(m+2n)
+
=2+
+
≥4,
当且仅当=
时,等号成立,故m+2n≥4成立.
【解析】(Ⅰ)当a=2,不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5.由绝对值的意义可得﹣1和4到1、2的距离之和正好等于5,从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集.
(Ⅱ)由f(x)≤1求得 a﹣1≤x≤a+1,再根据f(x)≤1的解集为[0,2],可得a=1,再根据 m+2n=(m+2n)+
=2+
+
, 利用基本不等式证得要证的不等式.
【考点精析】本题主要考查了基本不等式和绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
;含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.
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【题目】已知函数的定义域为(0,+
),若
在(0,+
)上为增函数,则称
为“一阶比增函数”;若
在(0,+
)上为增函数,则称
为”二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
1,所有“二阶比增函数”组成的集合记为
2。
(1)已知函数,若
∈
1,求实数
的取值范围,并证明你的结论;
(2)已知0<a<b<c,∈
1且
的部分函数值由下表给出:
t | 4 |
求证:;
(3)定义集合,且存在常数k,使得任取x∈(0,+
),
<k},请问:是否存在常数M,使得任意的
∈
,任意的x∈(0,+
),有
<M成立?若存在,求出M的最小值;若不存在,说明理由。