题目内容

【题目】如图,已知动圆过点,且在轴上截得弦的长为4.

1)求动圆圆心的轨迹的方程;

2)已知,过点的直线交轨迹两点,直线分别与轨迹交于两点,设直线的斜率分别为,试问是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

【答案】(1);(2为定值,理由见解析.

【解析】

1)设动圆圆心坐标,利用弦心距,半弦长,半径所成的直角三角形列方程,化简可得;
2)设AB的坐标,AB的方程,与抛物线方程联立可得根与系数关系,当时,可得;当时,由AF可得AC的方程,与抛物线方程联立可得AC坐标的关系,同法得BD坐标的关系,然后CD坐标表示后可转化为AB的坐标,从而得到的关系,得到定值.

1)如图所示,设动圆的圆心,由题意,

不在轴上时,过,则的中点,

,化简得

又当轴上时,由已知可得重合,点的坐标也满足方程

∴动圆圆心的轨迹的方程为

2为定值,下面给出证明:

设直线的方程为

,不妨设

联立

①当时,

,则

.

,同理可得

②当时,直线的方程为

联立

,故,同理

(定值).

综上得为定值.

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