Question

【题目】如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下图．

（Ⅰ）求证：A1OBD；

（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先证，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直；

（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.

（Ⅰ）因为，分别为中点，

故可得，故为等腰三角形，又为中点，

故可得，又因为平面A1DE平面BCED，且交线为，

又平面，故平面，又平面，

故.即证.

（Ⅱ）过作，由（Ⅰ）可知平面，

又平面，故可得，

又因为//，故可得.

综上所述：两两垂直，

故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

故可得，

则

设平面的法向量为，

故可得，即，

取，可得.故.

又，

故可得.

设直线A1C和平面A1BD所成角为，

故可得.

则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为.