题目内容

给出下列命题：
①如果向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 共面，向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 也共面，则向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 共面；
②已知直线a的方向向量 $数学公式$ 与平面α，若 $数学公式$ ∥平面α，则直线a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使 $数学公式$ =x $数学公式$ +y $数学公式$ ；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若 $数学公式$ =x $数学公式$ +y $数学公式$ +z $数学公式$ （其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面；在这四个命题中为真命题的序号有________．

④
分析：我们可以根据共面向量的性质对四个结论逐一进行判断，
①令 $\text{[math]}$ ，则满足，但 $\text{[math]}$ 不一定共面，①不对，
②若 $\text{[math]}$ ∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，所以②也不对；
③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y满足条件式，③错；
④由共面向量基本定理的推论，可得④正确．
解答：① $\text{[math]}$ ，满足向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也共面，但向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不一定共面，故①不正确；
②若 $\text{[math]}$ ∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，故②不正确；
③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ，故③不正确；
　　④∵三点A、B、C不共线， $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ，x+y+z=1，
∴ $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +（1-x-y） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四点共面，故④正确．
故答案为：④
点评：本题考查空间向量中的概念，共面向量基本定理及推论，解决的主要方法是特例法与转化思想的灵活运用．