题目内容

给出下列命题:
①如果函数f(x)对任意x∈R,都有f(a+x)=f(a-x)(a是常数),那么函数f(x)必是偶函数;
②如果函数f(x)对任意x∈R,都有f(2+x)=-f(x),那么函数f(x)是周期函数;
③如果函数f(x)对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
,那么函数f(x)在R上是增函数;
④函数y=f(x)和函数y=f(x-1)+2的图象一定不会重合.
其中真命题的序号是(  )
分析:鉴于选择题,可选择逐一检验的方法进行判定,取特殊值,特殊函数进行判定真假.
解答:解:对于①而言,当a=1时,对称轴为x=1,故不是偶函数,则不正确,排除A和C
对比B与D,只需判定④的真假,当f(x)=2x时,函数y=f(x)和函数y=f(x-1)+2的图象重合,故不正确
故选B
点评:本题主要考查了函数奇偶性的判定,函数单调性的判定,以及函数的周期性,属于基础题.
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