题目内容

给出下列命题：
①如果向量
a
，
b
，
c
共面，向量
b
，
c
，
d
也共面，则向量
a
，
b
，
c
，
d
共面；
②已知直线a的方向向量
a
与平面α，若
a
∥平面α，则直线a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使
MP
=x
MA
+y
MB
；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
（其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面； 在这四个命题中为真命题的序号有
 
．
分析：我们可以根据共面向量的性质对四个结论逐一进行判断，
①令
b
 ，
c
共线，
a，
b
不共线，
a
，
d
不共线，则满足，但
a，
b，
c
，
d
不一定共面，①不对，
②若
a
∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，所以②也不对；
③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y满足条件式，③错；
④由共面向量基本定理的推论，可得④正确．
解答：解：①不妨令
b
与
c
共线，
a
与
b
不共线，
a
与
d
不共线，满足向量
a
，
b
，
c
共面，向量
b
，
c
，
d
也共面，但向量
a
，
b
，
c
，
d
不一定共面，故①不正确；
    ②若
a
∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，故②不正确；
    ③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使
MP
=x
MA
+y
MB
，故③不正确；
　　④∵三点A、B、C不共线，
OP
=x
OA
+y
OB
+z
OC
，x+y+z=1，
∴
OP
=x
OA
+y
OB
+（1-x-y）
OC
=x(
OA
-
OC
)  +y(
OB
-
OC
)  +
OC
=
xCA
+
yCB
+
OC
，∴
OP
-
OC
=x
CA
+y
CB

      即
CP
=x
CA
+y
CB
，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四点共面，故④正确．
   故答案为：④
点评：本题考查空间向量中的概念，共面向量基本定理及推论，解决的主要方法是特例法与转化思想的灵活运用．
练习册系列答案
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42、给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=-f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）-2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是
①②④
．（把你认为正确命题的序号都填上）
给出下列命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；
③若直线a，b是异面直线，直线b，c是异面直线，则直线a，c也是异面直线；
④已知平面α⊥平面β，且α∩β=b，若a⊥b，则a⊥平面β；
⑤已知直线a⊥平面α，直线b在平面β内，a∥b，则α⊥β．
其中正确命题的序号是
②⑤
②⑤
．
给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a是常数），那么函数f（x）必是偶函数；
②如果函数f（x）对任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），那么函数f（x）是周期函数；
③如果函数f（x）对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，那么函数f（x）在R上是增函数；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-1）+2的图象一定不会重合．
其中真命题的序号是（　　）
给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）必是偶函数；
②要得到函数y=sin（1-x）的图象，只要将函数y=sin（-x）的图象向右平移1个单位即可；
③如果函数f（x）对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，那么函数f（x）在R上是增函数；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-2）+1的图象一定不能重合．其中真命题的序号是
 
．

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