题目内容

42、给出下列命题:
①如果函数f(x)对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数f(x)在R上是减函数;
②如果函数f(x)对任意的x∈R,都满足f(x)=-f(2+x),那么函数f(x)是周期函数;
③函数y=f(x)与函数y=f(x+1)-2的图象一定不能重合;
④对于任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时,f′(x)>g′(x).
其中正确的命题是
①②④
.(把你认为正确命题的序号都填上)
分析:(1)由题意可知,对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,当x1>x2时,f(x1)<f(x2),当x1<x2时,f(x1)>f(x2),可知函数随着x的递增而递减,递减而递增,因而可知函数f(x)在R上是减函数;
(2)由题意知f(x)=-f(2+x),因而可知f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因而可知函数的周期为4.
(3)根据函数的平移,可知函数y=f(x+1)-2先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,存在函数f(x)=2x使得图象可以重合.
(4)由f(-x)=-f(x)且x>0时,f′(x)>0,知函数f(x)关于原点中心对称且单调递增,由g(-x)=g(x)且x>0时,g′(x)>0,可知函数g(x)关于y轴对称且先单调递增后单调递减,因此可判断出x<0时,f′(x)>g′(x).
解答:解:(1)由题意可知,
对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2
当x1>x2时,
f(x1)<f(x2),
当x1<x2时,
f(x1)>f(x2),
可知函数随着x的递增而递减,递减而递增,
因而可知函数f(x)在R上是减函数,故此命题正确;
(2)由题意知f(x)=-f(2+x),
因而可知f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
因而可知函数的周期为4,故此命题正确.
(3)根据函数的平移,
可知函数y=f(x+1)-2先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,
存在函数f(x)=2x使得图象可以重合,故此命题错误.
(4)由f(-x)=-f(x)
且x>0时,f′(x)>0,
知函数f(x)关于原点中心对称且单调递增,
由g(-x)=g(x)
且x>0时,g′(x)>0,
可知函数g(x)关于y轴对称且先单调递增后单调递减,
因此可判断出x<0时,f′(x)>g′(x),故此命题正确,
故答案为:①②④.
点评:此题考查函数单调性、奇偶性和周期性的判断方法及相关计算.
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