题目内容
8.已知m≥0,函数f(x)=2|x-1|-|2x+m|的最大值为3.(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)若实数a,b,c满足a-2b+c=m,求a2+b2+c2的最小值.
分析 (Ⅰ)利用绝对值不等式,可得f(x)max=m+2,结合数f(x)=2|x-1|-|2x+m|的最大值为3,即可求实数m的值;
(Ⅱ)根据柯西不等式得:(a2+b2+c2)[12+(-2)2+12]≥(a-2b+c)2,即可求a2+b2+c2的最小值.
解答 解:(Ⅰ)f(x)=2|x-1|-|2x+m|=|2x-2|-|2x+m|≤|(2x-2)-(2x+m)|=|m+2|
∵m≥0,∴f(x)≤|m+2|=m+2,当x=1时取等号,
∴f(x)max=m+2,又f(x)的最大值为3,∴m+2=3,即m=1.
(Ⅱ)根据柯西不等式得:(a2+b2+c2)[12+(-2)2+12]≥(a-2b+c)2,
∵a-2b+c=m=1,∴${a^2}+{b^2}+{c^2}≥\frac{1}{6}$,
当$\frac{a}{1}=\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}$,即$a=\frac{1}{6},b=-\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}$时取等号,∴a2+b2+c2的最小值为$\frac{1}{6}$.
点评 本题考查绝对值不等式、柯西不等式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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