题目内容
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴,以θ= 的射线作为y轴的正半轴,以极点为坐标原点,长度单位不变,建立直角坐标系,已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,直线l的参数方程 (t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程;
(2)设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ,求C在此变换下得到曲线C'的方程,并求曲线C′内接矩形的最大面积.
【答案】
(1)解:把直线l的参数方程 (t为参数),消去参数,化为直角坐标方程为 2x+y﹣2=0.
曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,即 ρ2=2,即 ρ= .
(2)解:设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ,
曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 +Y2=2,即 + =1.
曲线C'的参数方程为 ,根据椭圆的对称性,曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|,
故当α= 时,曲线的内接矩形的面积最大为8.
【解析】(1)把直线l的参数方程消去参数,化为直角坐标方程,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,即ρ2=2,化简可得结果.(2)先求得曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为 +Y2=2,再求得曲线C'的参数方程为 ,根据椭圆的对称性,曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|,由此可得曲线的内接矩形的面积最大值.
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