Question

（2006•静安区二模）设函数f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数y=f^-1（x）的解析式；
（2）设g（x）=log_a（x-a），当0＜a＜1时，求函数h（x）=f^-1（x）+g（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值．

Answer 1

分析：（1）设y=a^x+3a，根据指数式与对数式的对应关系，用y表示x后，可得函数y=f^-1（x）的解析式；
（2）根据二次函数的图象和性质及复合函数的图象和性质，判断出h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在闭区间[a+2，a+3]上的单调性，进而可得函数的最值．

解答：解：（1）设y=a^x+3a，则a^x=y-3a…（2分），
两边取对数得：x=log_a（y-3a）…（4分），
所以f^-1（x）=log_a（x-3a）…（6分）
（2）设h（x）=f^-1（x）+g（x），
则h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，…（8分）
二次函数u=x²-4ax+3a²的对称轴为x=2a＜2，
所以u=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上为增函数，…（10分）
当x=a+2时，取得最小值4（1-a），
当x=a+3时取得最大值3（3-2a）…（12分）
∵0＜a＜1从而可得
h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为log_a3（3-2a），log_a4（1-a）…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，复合函数的单调性，反函数，是函数图象和性质是综合应用，难度中档．