Question

【题目】已知二次函数f（x）=x2+bx+c，当x∈R时f（x）=f（2﹣x）恒成立，且3是f（x）的一个零点． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（ax）（a＞1），若函数g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值等于5，求实数a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由x∈R时f（x）=f（2﹣x）恒成立得函数的图像关于直线x=1对称；， ∴ =1．解得：b=﹣2
又v的一个零点，
∴9﹣6+c=0．解得：c=﹣3．
∴f（x）=x2﹣2x﹣3
（Ⅱ）设t=ax ， （a＞1），
∵x∈[﹣1，1]，
∴t∈[ ，a]
若f（a）=5，则由a2﹣2a﹣3=5得a=4，或a=﹣2（舍去），此时f（a）＞f（ ），符合题意；
若f（ ）=5，则可得a= （舍去），或a=﹣ （舍去），
∴a=4
【解析】（I）由已知可f（x）=f（2﹣x）恒成立，且3是f（x）的一个零点，求出b，c的值，可得函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设t=ax（a＞1），由x∈[﹣1，1]，可得：t∈[ ，a]，结合函数g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值等于5，分类讨论，可得满足条件的a值．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义和二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减即可以解答此题．