Question

9．已知命题$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． [2-ln2，+∞）
• D． （-∞，2-ln2]

Answer 1

分析 命题$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命题，可得a≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，求出右边的最小值，即可得出实数a的取值范围．

解答 解：∵命题$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命题，
∴a≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，
令y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，则y′=x-$\frac{1}{x}$，
∵x∈[1，2]，∴y′＞0，∴函数单调递增，
∴y_min=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查全称命题，考查函数的单调性，正确分离参数是关键．