Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°．
（I）求二面角P-BC-A的正切值；
（II）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

分析：（I）由题设知BC=5，平面APB⊥平面ABC，∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的正切值．

解答：解：（I）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=5，
∵平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，
∴平面APB⊥平面ABC，
∵∠BAC=90°，∴AC⊥平面APB，
∴∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，
∵二面角P-AC-B的大小为45°，
∴∠PAB=45°，
∴PM=AM=

1

2

AB=2，
作MD⊥BC，交BC于D，连接PD，
则∠PDM是二面角P-BC-A的平面角，
∵△BDM∽△BAC，∴

BM

BC

=

DM

AC

，
∴DM=

BM•AC

BC

=

2×3

5

=

6

5

，
∴tan∠PDM=

PM

DM

=

2

6 5

=

5

3

，
故二面角P-BC-A的正切值为

5

3

．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，PM=2，AM=2，
∴C（3，0，0），B（0，4，0），P（0，2，2），A（0，0，0），
∴

CP

=(-3，2，2)，

CB

=(-3，4，0)，

AP

=(0，2，2)，

AB

=(0，4，0)，
设平面CPB的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，则

m

•

CP

=0，

m

•

CB

=0，
∴

-3x1+2y1+2z1=0 -3x1+4y1=0

，解得

m

=(4，3，3)，
设平面APB的法向量为

n

=(x2，y2，z2)，则

n

•

AP

=0，

n

•

AB

=0，
∴

2y2+2z2=0 4y2=0

，解得

n

=(1，0，0)，
设二面角C-PB-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

4

34

．
∴tanθ=

3 2

4

，
∴二面角C-PB-A的正切值为

3 2

4

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，合理地化立体问题为平面问题，注意向量法的合理运用．