Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，f（x）在x=1处可导且f'（1）=2，对任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），则（1）f（1）=

 

　 （2）f（x）=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据对任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），令a=b=1代入函数的关系式得到f（1）=f（1）+f（1），移项得到结果．
（2）令a=x，b=

1

x

，再利用导数f'（1）=2，可以求得．

解答：解：（1）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意a，b∈R₊都有f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=b=1，f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）f（x）在x=1处可导且f'（1）=2，
f（ab）=af（b）+bf（a），
∴令a=x，b=

1

x

，∴f（1）=xf（

1

x

）+

1

x

f(x)
即xf（

1

x

）+

1

x

f(x)=0 ①，从而易得f（x）=2xlnx，
故答案为（1）0；（2）2xlnx．

点评：本题考查函数的解析式的求法，本题解题的关键是对于函数式的使用条件要注意，可以给这种题目根据需要赋值．