Question

【题目】已知圆，直线.

（1）求直线所过定点A的坐标；

（2）求直线被圆C所截得的弦长最短时直线的方程及最短弦长；

（3）已知点M(-3,4)，在直线MC上(C为圆心)，存在定点N(异于点M)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数， 试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.

Answer 1

【答案】（1）A（1，3）；（2）直线方程为，最短弦长为；（3）在直线MC上存在定点，使得为常数．

【解析】

（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线过定点A的坐标；
（2）当AC⊥时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；
（3）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N（，4）满足题意，则设，，得，且，求出，然后求解比值.

解：（1）依题意得，，
令且，得，

∴直线过定点A（1，3）；
（2）当AC⊥时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），，
，得，

∴由得，

此时直线方程为，
∴圆心到直线的距离为，
∴最短弦长为；
（3）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N（，4）满足题意，
则设，，得，且，
，
，
整理得，，
∵上式对任意恒成立，
且，
解得 或（舍去，与M重合），
综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数.