Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右焦点F₂与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线的焦点坐标为，故，由短轴的两个端点与F₂构成正三角形，知a=2b，由此能够导出椭圆的方程．
（2）设P点坐标为（x，y），由椭圆的对称性知，=，当四边形PF₁QF₂面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，由对称性能够导出的值．
解答：解：（1）由题，抛物线的焦点坐标为，故…（2分）
又因为短轴的两个端点与F₂构成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1
所以椭圆的方程为…（7分）
（2）设P点坐标为（x，y），由椭圆的对称性知，=
当四边形PF₁QF₂面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，
由对称性不妨设P（0，1）…（10分）
又则
所以…（16分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．