Question

（2006•成都一模）已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足f(

1

2

)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

，求数列{f（x_n）}的通项公式；
（III）设T_n为数列{

1

f(xn)

}的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（I）判定奇偶性需判定f（-x）与f（x）的关系，可令x=y=0，求出f（0），然后令x=0时，可得f（-x）与f（x），可判定奇偶性；
（II）欲求数列{f（x_n）}的通项公式先研究该数列的特点，利用条件可得f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f[

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

]=f(xn)-f(-xn)，根据奇偶性可得

f(xn+1)

f(xn)

=2，则{f（x_n）}是以f(x1)=f(

1

2

)=1为首项，以2为公比的等比数列，可求出所求；
（III）先利用等比数列求和公式求出T_n，然后假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立，求出不等式左边的最大值建立不等式关系，可求出m的取值范围，从而求出所求．

解答：解：（I）令x=y=0，得f（0）=0．
又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．       （3分）
（II）∵{x_n}满足x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

=

2

1 xn +xn

＜

2

2

=1，
∴0＜x_n＜1．
∴f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f[

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

]=f(xn)-f(-xn)．
∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（-x_n）=-f（x_n）
∴f（x_n+1）=2f（x_n），即

f(xn+1)

f(xn)

=2．
∵{f（x_n）}是以f(x1)=f(

1

2

)=1为首项，以2为公比的等比数列．
∴f（x_n）=2^n-1．                                                    （5分）
（III）Tn=

1

f(x1)

+

1

f(x2)

+…+

1

f(xn)

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
假设存在正整数m，使得对任意的n∈N^*，
有Tn＜

m-4

3

成立，
即2-

1

2n-1

＜

m-4

3

对n∈N^*恒在立．
只需

m-4

3

≥2，即m≥10．
故存在正整数m，使得对n∈N^*，有Tn＜

m-4

3

成立．
此时m的最小值为10．                                       （5分）

点评：本题主要考查了等比数列的求和，以及函数的奇偶性和单调性，同时考查了数列与不等式的综合应用，以及转化的思想和计算的能力，属于难题．