Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°，．
（Ⅰ）证明：AD⊥PC；
（Ⅱ）求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD
∵∠DAC=90°，∴AD⊥AC
∵PA∩AC=A
∴AD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴AD⊥PC
（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，则P（0，0，2），D（-1，1，0），B（2，0，0），C（2，2，0）
∴，，
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可得，取
则…（11分）
∴PD与平面PBC所成的角为． …（12分）
分析：（Ⅰ）证明线线垂直，可证线面垂直，即AD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得，平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得PD与平面PBC所成的角为．
点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确利用向量法求解线面角．