题目内容

12.公差不为零的等差数列{an}的前5项和为-20,数列{bn}为等比数列,且b1=a1,b2=a3,b3=a4
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}前n项和.

分析 (1)设数列{an}的公差为d(d≠0),{bn}的公比为q,由等差数列的前n项和公式、性质求出a3=-2,结合条件利用等比、等差数列的通项公式列出方程组,求出方程组的解,由等差数列的通项公式求出an
(2)由(1)和等比数列的前n项和公式求出数列{bn}前n项和.

解答 解:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),{bn}的公比为q,
∵等差数列{an}的前5项和为-20,
∴$\frac{5({a}_{1}+{a}_{5})}{2}=-20$,由等差数列的性质得a3=-2,
∵b1=a1,b2=a3,b3=a4
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}={a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=-2}\\{{b}_{1}q=-2}\\{{b}_{1}{q}^{2}=-2+d}\end{array}\right.$,解得b1=a1=-4,d=1,q=$\frac{1}{2}$,
则an=a1+(n-1)d=n-5;
(2)由(1)得,b1=-4,q=$\frac{1}{2}$,
∴数列{bn}前n项和Sn=$\frac{{b}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$=$\frac{-4[1-{(\frac{1}{2})}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=-8+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$.

点评 本题等比、等差数列的通项公式以及前n项和公式,等差数列的性质,考查方程思想和化简、计算能力,属于中档题.

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