Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．给出下列命题：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点    
（3）f（2014）=0             
（4）直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴
则正确命题个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根据f（x-1）=f（x+1）和奇函数的结论：f（0）=0，求出f（1）=0和函数的周期，进而判断出（1）、（2）、（3）正确；利用奇函数的性质构造等式判断出（4）正确性．

解答：解：由题意，令x=1代入f（x-1）=f（x+1）得，f（0）=f（1），
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=f（0）=0，故（1）正确；
又∵对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴f（x）=f（x+2），
则函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f（-2）=f（0）=f（2）=0，且f（2014）=f（2×1007+0）=0，
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴f（x）在（0，1]上递减，
由奇函数得，f（x）在[-2，2]上有5个零点，即（2）、（3）正确；
由f（x）=f（x+2）和奇函数得，-f（-x）=f（x+2），
求不出直线x=1是函数y=f（x）图象的一条对称轴
故（4）不正确，
故选C．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性和周期性的综合应用，以及函数零点的定义，属于中档题．