Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2．侧△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）若M为PC上一动点，则M在何位置时，PC⊥平面MDB？并加已证明；
（2）若G为△PBC的重心，求二面角G-BD-C大小．

Answer 1

分析：（1）由题目给出的PD=DC，猜想M应为PC的中点，因为△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，过P作PN⊥AD后，连接BN，在直角三角形PNB中求出PB，解直角梯形求出BC，说明BM⊥PC，从而说明猜想的正确性；
（2）根据G是△PBC的重心，把求二面角G-BD-C的大小转化为求二面角M-BD-C的大小，由PC垂直于平面PBD，垂足是M，可直接过M作作BD的垂线找二面角的平面角，最后通过解直角三角形求解二面角的大小．

解答：解：（1）如图，当M为PC的中点时，PC⊥平面MDB．
事实上，连BM，DM，取AD的中点N，连NB，NP．
因为△PAD为正三角形，N为AD中点，所以PN⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD．
在Rt△PNA中，由PA=2，AN=1，得PN=

3

，
在Rt△BAN中，由AN=AB=1，得NB=

2

，
在Rt△PNB中，由PN=

3

，NB=

2

，
则PB=

PN2+NB2

=

( 3 )2+( 2 )2

=

5

．
在直角梯形ABCD中，由AD=CD=2AB=2，解得BC=

5

．
所以BM⊥PC，
又PD=DC=2，所DM⊥PC，
而MD∩BM=M，MD，BM?平面MDB，
所PC⊥平面MDB；
（2）由G为△PBC的重心，可知G在中线BM上，
所以二面角G-BD-C即为二面角M-BD-C．
过M作MF⊥BD于F，连CF，
因为PC⊥平面MDB，所以PC⊥BD，又MF⊥BD，MF∩PC=M
所以BD⊥面MFC，所以CF⊥BD，
故∠MFC是二面角G-BD-C的平面角．
在等腰△BDC中，BD=

5

，DC=2，BC=

5

，
所以cos∠DBC=

( 5 )2+( 5 )2-22

2× 5 × 5

=

3

5

．
sin∠DBC=

4

5

．
所以

1

2

BD•CF=

1

2

BD•BC•sin∠DBC
所以CF=BC•sin∠DBC=

4 5

5

，
在Rt△PDC中，由PD=DC=2，得PC=2

2

，则MC=

2

．
所以sin∠MFC=

MC

FC

=

2

4 5 5

=

10

4

，
故二面角G-BD-C的大小为arcsin

10

4

．

点评：本题考查了面面垂直的性质，考查了二面角的平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角最为有效的方法，此题是中档题．