Question

【题目】已知函数．

（）若，求曲线在点处的切线方程．

（）求函数的单调区间．

（）设函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（）．（）见解析．（）．

【解析】试题分析： 求出，计算出， 的值，求出切线方程即可； 求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； 问题等价于，令，求出的最大值，从而求出实数的取值范围。

解析：（）∵，

，

，

，

∴在处切线方程为．

（）∵，

令，即，

解出或．

①当时（即时），

由得或，

由得，

∴的增区间为， ，减区间为，

②当（即时），

由得或，

由得，

∴增区间为， ，减区间为．

③当，即时，

，在上恒成立，

∴的增区间为无减区间．

综上， 时， 增区间为， ，减区间为，

时， 增区间为， 减区间为，

时， 增区间为，无减区间．

（）∵，有恒成立，

则，即，

令，当时，

， ，

∵当时， ，

在上单调递增，

∴．

∴，

∴．