题目内容
【题目】已知双曲线与
有相同的渐近线,且经过点
,
(1)求双曲线的方程,并写出其离心率与渐近线方程;
(2)已知直线与双曲线
交于不同的两点
,且线段
的中点在圆
上,求实数
的取值.
【答案】(1)双曲线的方程为,离心率
,其渐近线方程为
.(2)
【解析】
(1)先由题意设双曲线的方程为
,根据
,求出
,即可得双曲线方程;进而可求出离心率与渐近线方程;
(2)联立直线与双曲线
的方程,设
,
,由中点坐标公式,韦达定理,以及题中条件,即可求出结果.
(1)双曲线
与双曲线
有相同的渐近线,
设双曲线的方程为,
代入,得
,
,
故双曲线的方程为.
由方程得,
,故离心率
其渐近线方程为.
(2)联立直线与双曲线
的方程,
,
经整理得,
,
设,
,则
的中点坐标为
,
由韦达定理,,
,
的中点坐标为
,
又在圆
上,
,
.
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