Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）证明数列{a_n}是等比数列，并求S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，由a₁=S₁，可得a₁，再令n=2可得a₂；
（2）由S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），将n换为n-1，两式相减，再由等比数列的定义和求和公式计算即可得到．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），可得a₁=S₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），
解得a₁=-$\frac{1}{2}$，
a₂-1=3S₂=3（a₁+a₂）=3（-$\frac{1}{2}$+a₂），
解得a₂=$\frac{1}{4}$；
（2）证明：S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
可得S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1），
相减可得a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），
化简可得a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
即有数列{a_n}是首项为-$\frac{1}{2}$，公比为-$\frac{1}{2}$的等比数列，
则S_n=$\frac{-\frac{1}{2}（1-（-\frac{1}{2}）^{n}）}{1+\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等比数列的定义和通项、求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．