Question

10．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x≤0\\{x^2}-4x，x＞0\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是（　　）

• A． （-32，0）
• B． （-16，0）
• C． （-8，0）
• D． （-4，0）

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x≤0\\{x^2}-4x，x＞0\end{array}\right.$与y=m的图象，设x₁＜x₂＜x₃，易知-4＜m＜0；从而可得x₁=2m，x₂x₃=-m，从而解得．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x≤0\\{x^2}-4x，x＞0\end{array}\right.$与y=m的图象如下，
，
不妨设x₁＜x₂＜x₃，易知-4＜m＜0；
故$\frac{1}{2}$x=m或x²-4x-m=0，
故x₁=2m，x₂x₃=-m，
故x₁x₂x₃=2m（-m）=-2m²，
∵-4＜m＜0，∴0＜m²＜16，
∴-2m²∈（-32，0）；
故选：A．

点评 本题考查了分段的函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了韦达定理的应用．