题目内容
【题目】若二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(﹣2),且函数的f(x)的一个零点为1. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)对任意的 ,4m2f(x)+f(x﹣1)≥4﹣4m2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(2)=f(﹣2)且f(1)=0,故函数图像的对称轴为x=0, ∴b=0,c=﹣1,∴f(x)=x2﹣1.
(Ⅱ)由题意知:4m2(x2﹣1)+(x﹣1)2﹣1+4m2﹣4≥0,在 上恒成立,
整理得 在
上恒成立.
令g(x)= ,
∵ ,∴
,
当 时,函数g(x)的最大值
,
所以 ,解得
或
【解析】(Ⅰ)由题意可得函数图像的对称轴为x=0,求得b=0,再由f(1)=0求得c=﹣1,从而得到函数的解析式.(Ⅱ)由题意知,得 在
上恒成立.令g(x)=
,求得g(x)的最大值
,从而得到
,由此求得实数m的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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