Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

1

(4-log2a2n)(5-log2a2n+1)

，记数列{b_n}的前n项和S_n，求证：S_n≤

1

2

．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃与a₅的等比中项为2，即可求出a₃和a₅，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先把（1）的结论代入整理出数列{b_n}的通项公式，求和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，
又∵a₃+a₅=5，q∈（0，1），
∴a₃=4，a₅=1，解得q=

1

2

，
∴a_n=2^5-n；
（2）证明：b_n=

1

(4-log2a2n)(5-log2a2n+1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

即S_n≤

1

2

成立

点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项法，是对基础知识的考查，属于中档题．