题目内容
【题目】已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为 ,且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4;l1 , l2是过点P(0,2)且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E交C,D两点,AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求l1的斜率k的取值范围;
(3)求 的取值范围.
【答案】
(1)解:设椭圆方程为 ,
由
∴椭圆方程为 ;
(2)解:由题意知,直线l1的斜率存在且不为零
∵ ,∴ .
由 消去y并化简整理,
得(3+4k2)x2+16kx+4=0
根据题意,△=(16k)2﹣16(3+4k2)>0,解得 .
同理得 ,
∴ ;
(3)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
那么 ,∴ ,∴
同理得 ,即
∴
∵ ,∴
∴
即 的取值范围是
【解析】(1)设椭圆的标准方程,根据离心率求得a和c关系,进而根据a求得b,则椭圆的方程可得.(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程,分别于椭圆方程联立消去y,根据判别式求得k的范围,最后综合可得答案.(3)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0),根据韦达定理求得x0和y0的表达式,进而表示M和N的坐标,最后表示出 根据k的范围确定答案.
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