题目内容
【题目】已知曲线,
相邻对称轴之间的距离为
,且函数
在
处取得最大值,则下列命题正确的是( )
①当时,
的取值范围是
;
②将的图象向左平移
个单位后所对应的函数为偶函数;
③函数的最小正周期为
;
④函数在区间
上有且仅有一个零点.
A.①②B.①③C.①③④D.②④
【答案】B
【解析】
根据函数相邻对称轴之间的距离为
,求得函数的最小正周期,从而求得
,再利用辅助角公式,求得函数的解析式,逐项分析,即可求解.
由题意,函数,其中
,
因为函数相邻对称轴之间的距离为
,可得最小值周期为
,
又由,所以
,
当时,则
,
对于①中,由函数在
出取得最大值,可得
,
解得,所以
,
又由,所以
,即
,所以是正确的;
对于②中,不妨令,则
,可解得一个
,那么
的图象向左平移
个单位后得到函数
,此时函数为奇函数,所以是不正确的;
对于③中,由于的周期为
,可得函数
的周期为
,即函数
的最小正周期应满足
,所以是正确的;
对于④中,
,
由③可知函数的最小正周期为,由函数
在
处取得最大值可知,在其后
上满足
,而当超过这区间的时候,存在
的情况,
即当时,函数值一直为0,显然不止一个零点,所以是错误的.
当时,同理可验证得到以上结论,
综上可得正确的是①③.
故选:B.