题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,证明
在
单调递减;
(2)当时,讨论
的零点个数.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)将a的值代入中,计算导数,构造新函数
,结合导数,判断
的范围,即可得出
的单调性。(2)构造函数
,结合导函数,针对a的不同范围,判断
的零点个数,进而得到
的零点个数,即可。
(1)当时,
,
,
令,则
,
,在
上为减函数,且
,
令,得
,所以
的递增区间为
,
同理,可得的递减区间为
,
所以即
,
故在
单调递减.
(2)由(1)得时,
在
单调递减,又
,
所以时,
有一个零点.
因为定义域为
,故
与
有相同的零点,
令,则
,
当时,
时,
,
时,
所以,
无零点,
也无零点.
当时,令
,得
或
1 | |||||
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | ↗ | ↘ |
,
当时,
当即
时,
,
故有一个零点,
也有有一个零点.
综上可知,当时,
无零点;
当时,
有一个零点.
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练习册系列答案
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【题目】已知函数的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,
的导函数
的图象如图所示,下列关于
的命题:
-1 | 0 | 4 | 5 | |
1 | 2 | 2 | 1 |
①函数的极大值点为0,4;
②函数在[0,2]上是减函数;
③如果当时,
的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数有4个零点.
其中正确命题的序号是__________.