题目内容
【题目】(1)求与椭圆
有公共焦点，并且离心率为
的双曲线方程．
(2)已知斜率为1的直线l过椭圆
的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
（1）根据题意，求出椭圆
的焦点坐标，分析可得要求双曲线的焦点在x轴上，且c=
，设其方程为
﹣
=1，由离心率公式求出a的值，由双曲线的几何性质计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案；（2）设出A、B的坐标，由椭圆方程求出椭圆右焦点坐标，得到A、B所在直线方程，与椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A、B横坐标的和与积，代入弦长公式求弦AB的长．
(1)由椭圆方程为，知长半轴长
，短半轴长
，
焦距的一半
，
∴焦点是
，
，因此双曲线的焦点也是，，
设双曲线方程为
，由题设条件及双曲线的性质，得
，解得
，故所求双曲线的方程为
.
(2)设A、B的坐标分别为
、
．
由椭圆的方程知
，
，
，∴
．
直线l的方程为
① 将①代入
，化简整理得
，∴
，
，
∴
.
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