题目内容
18.已知双曲线x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F1,F2双曲线的离心率为e,若双曲线上一点P使$\frac{sin∠PF{{\;}_{2}F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=e,Q点为直线PF1上的一点,且$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$,则$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值为( )A. | $\frac{25}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ |
分析 设|PF1|=m,|PF2|=n,则由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2,结合双曲线的定义,可得m,n,再利用$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$,结合余弦定理,利用向量的数量积公式,求出$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$的值.
解答 解:设|PF1|=m,|PF2|=n,则由正弦定理可得$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{a}$=2,
∴m=2n,
∵m-n=2,
∴m=4,n=2,
∵$\overrightarrow{PQ}$=3$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$,
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=3,|$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$|=1,
△PF1F2中,cos∠PF1F2=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$,
△QF1F2中,|QF2|=$\sqrt{1+16-2×1×4×\frac{7}{8}}$=$\sqrt{10}$,
∴$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$•$\overrightarrow{F{{\;}_{2}F}_{1}}$=$\frac{16+10-1}{2}$=$\frac{25}{2}$.
故选:A.
点评 本题考查椭圆的定义与性质,考查正弦定理、余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π}{2}$ | C. | π | D. | $\frac{3π}{2}$ |