Question

（本小题满分14分）

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（Ⅰ）求数列与数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有。

Answer 1

（Ⅰ），

（Ⅱ）不存在正整数，使得成立，理由见解析。

（Ⅲ）证明见解析。

解析:

（Ⅰ）当时，

又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，……………………………3分

（II）不存在正整数，使得成立。

证明：由（I）知

∴当n为偶数时，设

∴

当n为奇数时，设

∴

∴对于一切的正整数n，都有

∴不存在正整数，使得成立。………………………………8分

（III）由得

又，

当时，，

当时，

 …………………14分