Question

7．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=2，且a₁，a₃，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={a_n}-{2^n}-\frac{1}{2}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公差为d，通过a₁，a₃，a₁₁成等比数列，求出d，然后求解a_n．
（Ⅱ）求出${b_n}=3n-{2^n}-\frac{3}{2}$，通过分项求和，求解数列{b_n}的前n项和即可．

解答 （本小题13分）
解：（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，设公差为d，
所以a₃=a₁+2d=2+2d．a₁₁=2+10d．…（2分）
因为a₁，a₃，a₁₁成等比数列，
所以${a_3}^2={a_1}•{a_{11}}$．…（3分）
即（2+2d）²=2×（2+10d）．
所以d²-3d=0．
所以d=0，或d=3．…（4分）
因为d≠0，
所以d=3．…（5分）
所以a_n=2+3（n-1）=3n-1．…（6分）
（Ⅱ） 因为${b_n}={a_n}-{2^n}-\frac{1}{2}$，
所以${b_n}=3n-{2^n}-\frac{3}{2}$．…（7分）
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（{3-2-\frac{3}{2}}）+（{6-{2^2}-\frac{3}{2}}）+…+（{3n-{2^n}-\frac{3}{2}}）$=$（{3+6+…+3n}）-（{2+{2^2}+…+{2^n}}）-\frac{3}{2}n$…（10分）
=$（{\frac{{3{n^2}+3n}}{2}}）-（{{2^{n+1}}-2}）-\frac{3}{2}n$=$\frac{3}{2}{n^2}-{2^{n+1}}+2$．
所以数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{3}{2}{n^2}-{2^{n+1}}+2$．…（13分）

点评 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．