Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为．
（1）证明：AE⊥PD；
（3）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．
（2）EH与平面PAD所成最大角的正切值为可求出PA=AB，然后以AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出异面直线PB与AC所在向量的夹角的余弦值，从而求出所求；
（3）将三棱锥P-AEF的体积转化成三棱锥F-AEP，然后利用三棱锥的体积公式即可求出．
解答：证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=，
所以当AH最短时，∠EHA最大，
即当AH⊥PD时，∠EHA最大．
此时 tan∠EHA===，
因此 AH=．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．
以AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（-1，，0），C（1，，0）
P（0，0，2）则=（-1，，-2），=（1，，0）
cos＜，＞===
∴异面直线PB与AC所成的角的余弦值
（3）V_P-AEF=V_F-PAE=××2××=．
点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、线线的位置关系、异面直线所成角及其几何体的体积等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．