题目内容
【题目】已知在点
处的切线与直线
平行.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设.
(i)若函数在
上恒成立,求
的最大值;
(ii)当时,判断函数
有几个零点,并给出证明.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)1;
详见解析.
【解析】
Ⅰ
求函数
的导数
,计算
时的导数即可求出a的值;
Ⅱ
求
的导数
,讨论当
和
时
的单调性,由单调性判断最值即可得到b的最大值;
化简
知0是
的一个零点,利用构造函数法讨论
和
时,函数
是否有零点,从而确定函数
的零点情况.
解:Ⅰ
函数
,则
,
由题意知时,
,即a的值为1;
Ⅱ
,
所以,
当时,若
,则
,
,
单调递增,所以
;
当时,若
,令
,解得
舍去
,
,
所以在
内单调递减,
,所以
不恒成立,
所以b的最大值为1;
,显然
有一个零点为0,
设,则
;
当时,
无零点,所以
只有一个零点0;
当时,
,所以
在R上单调递增,
又,
,
由零点存在性定理可知,在
上有唯一一个零点
,
所以有2个零点;
综上所述,时,
只有一个零点,
时,
有2个零点.
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