题目内容
已知抛物线
：
的焦点为
，若过点且斜率为
的直线与抛物线相交于
两点,且
．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线
为抛物线的切线，且∥
,
为上一点，求
的最小值．
（1）
；（2）-14.
解析试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积等基础知识，考查学生的数学结合思想、分析问题解决问题的能力、转化能力.第一问，由抛物线的标准方程得焦点F的坐标，再利用点斜式写出直线方程，由于它与抛物线相交，所以直线方程与抛物线方程联立，消参，利用韦达定理、得到M、N的两个横坐标的和，解出P的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先设出直线的方程，由于是抛物线的切线，所以2个方程联立，得到x的方程后，方程的判别式等于0，解出b的值，从而得到直线方程，设出p点坐标，结合第一问得出
和
坐标，利用向量的数量积化简表达式，使之转化为关于m的式子，再利用配方法求最值.
试题解析：（1）由题可知
，则该直线方程为：
， 1分
代入
得：
，设
，则有
3分
∵，∴
，即
，解得
∴抛物线的方程为：． 5分
(2)设方程为
，代入，得
，
因为为抛物线的切线，∴
，
解得
，∴
7分
由（1）可知：
，
设
，则
所以
，，
，
，
，∴
10分
当且仅当
时，即点的坐标为
时，的最小值为
． 12分
考点：抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、向量的数量积
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，求
的值
，求
的取值范围
，
，
，
.
时，求向量
与
的夹角
；
时，求
的最大值；
，将函数
的图像向右平移
个长度单位，向上平移
个长度单位
后得到函数
的图像，且
，令
，求
的最小值.
的离心率为
，以椭圆
的
为圆心作圆
，设圆
与点
.
的最小值，并求此时圆
是椭圆
、
分别与
轴交于点
、
，
为坐标原点，求证：
为定值.
在同一平面内，且
.
，且
，求
；
，且
，求
与
的夹角.
是单位圆上一点，一个动点从点
出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.
秒时，动点到达点
，
秒时动点到达点
.设
，其纵坐标满足
.
；
，求
的取值范围.
是一个平面内的三个向量，其中
=（1，2）
|＝
，
|＝
，且
, 则
= ．