题目内容
定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.
已知函数;.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(3)若,函数在上的上界是,求的取值范围.
【答案】
(1)在的值域为,故不存在常数,使成立
所以函数在上不是有界函数。
(2)实数的取值范围为。
(3)当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是
【解析】[解]:(1)当时,
因为在上递减,所以,即在的值域为
故不存在常数,使成立
所以函数在上不是有界函数。 ……………4分(没有判断过程,扣2分)
(2)由题意知,在上恒成立。………5分
,
∴ 在上恒成立………6分
∴ ………7分
设,,,由得 t≥1,
设,
所以在上递减,在上递增,………9分(单调性不证,不扣分)
在上的最大值为, 在上的最小值为
所以实数的取值范围为。…………………………………11分
(3),∵ m>0 , ∴ 在上递减,…12分
∴ 即………13分
①当,即时,, ………14分
此时 ,………16分②当,即时,,
此时 , ---------17分
综上所述,当时,的取值范围是;
当时,的取值范围是………18分
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