题目内容

定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称上的有界函数,其中称为函数的上界.

已知函数.

(1)当时,求函数上的值域,并判断函数上是否为有界函数,请说明理由;

(2)若函数上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;

(3)若,函数上的上界是,求的取值范围.

 

【答案】

(1)的值域为,故不存在常数,使成立

所以函数上不是有界函数。

(2)实数的取值范围为

(3)当时,的取值范围是

时,的取值范围是

【解析】[解]:(1)当时, 

因为上递减,所以,即的值域为

故不存在常数,使成立

所以函数上不是有界函数。   ……………4分(没有判断过程,扣2分)

(2)由题意知,上恒成立。………5分

,          

∴   上恒成立………6分

∴    ………7分

,由得 t≥1,

所以上递减,上递增,………9分(单调性不证,不扣分)

上的最大值为,  上的最小值为 

所以实数的取值范围为。…………………………………11分

(3),∵   m>0  ,      ∴  上递减,…12分

∴       即………13分

①当,即时,, ………14分

此时  ,………16分②当,即时,

此时  ,   ---------17分

综上所述,当时,的取值范围是

时,的取值范围是………18分

 

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