题目内容
【题目】设数列满足
(
且
),
.
(1)求证: 是等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2)对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证: .
【答案】(1) ,
;(2)
;(3) 见解析;
【解析】试题分析:(1)由可得
,所以
是首项为
,公比为3的等比数列,进而可求得
(2)由题可转化为,即
,对任意
恒成立,再看成关于m的一次函数,需
,解得
的取值范围为
.
(3)由(1)知,利用当
时,
,对
进行放缩可得
.
试题解析:(1)解:由 (
且
)得
(
且
)
∵,∴
,∴
,(
且
)
∴是首项为3,公比为3的等比数列.
∴.
∴,
.
(2)要使对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,
则须使,
即,对任意
恒成立,
∴,解得
或
,
∴实数的取值范围为
.
(3)证明:由(1)知,当
时,
,
∴,
所以.
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