题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，已知椭圆的方程为：
，动点
在椭圆上，
为原点，线段
的中点为
.
（1）以为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点的轨迹的极坐标方程；
（2）设直线
的参数方程为
（
为参数），与点的轨迹交于
、
两点，求弦长
.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1)先由相关点法求出点
的轨迹方程，再由极坐标与直角坐标转化的公式，即可得出结果；
(2)将直线的参数方程代入点的普通轨迹方程，得到关于
的一元二次方程，由韦达定理和
即可求出弦长.
（1）设点的坐标为
，
为线段
的中点，
点
的坐标为
．
由点在椭圆上得
，
化简得点的轨迹的直角坐标方程为
①
将
，
，代入①得
，
化简可得点的轨迹的极坐标方程为
．
（2）（法一）把直线
参数方程
(为参数)代入①得
，
化简得：
设
、
两点对应的参数分别为
，
，由直线参数方程的几何意义得
弦长
．
（法二）由直线参数方程 (为参数)知，直线过极点，倾斜角为
，
直线的极坐标方程为
．
由
解得：
和
弦长
．
（法三）由直线参数方程 (为参数)知，
直线的普通方程为
，
联立
解得
和
弦长
．
名校联盟快乐课堂系列答案
【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；
②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？
（均精确到0.001）
附注：①参考数据：
，
，
②参考公式：相关系数
，
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
【题目】商品价格与商品需求量是经济学中的一种基本关系，某服装公司需对新上市的一款服装制定合理的价格，需要了解服装的单价x（单位：元）与月销量y（单位：件）和月利润z（单位：元）的影响，对试销10个月的价格
和月销售量
（
）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值.
x |
| y |
|
|
|
|
61 | 0.018 | 372 |
| 2670 | 26 | 0.0004 |
表中
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个适宜作为需求量y关于价格x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这批服装的成本为每件10元，根据（1）的结果回答下列问题；
（i）预测当服装价格
时，月销售量的预报值是多少？
（span>ii）当服装价格x为何值时，月利润的预报值最大？（参考数据
）
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
