Question

14．数列{a_n}满足直线：x+ny+2=0和直线：3x+a_ny+3=0平行，数列{b_n}的前n项和记为S_n，其中b_n=2^a_n，若$\frac{{{S_n}-m{b_n}}}{{{S_n}-m{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，则满足条件的正整数对（m，n）=（1，1）．

Answer 1

分析 利用斜率相等可知a_n=3n，进而S_n=$\frac{1}{7}$•8ⁿ⁺¹-$\frac{8}{7}$，计算即得结论．

解答 解：∵直线：x+ny+2=0和直线：3x+a_ny+3=0平行，
∴$\frac{n}{1}$=$\frac{{a}_{n}}{3}$，即a_n=3n，
∴b_n=2³ⁿ=8ⁿ，
∴S_n=$\frac{8（1-{8}^{n}）}{1-8}$=$\frac{1}{7}$•8ⁿ⁺¹-$\frac{8}{7}$，
∴$\frac{{{S_n}-m{b_n}}}{{{S_n}-m{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，即$\frac{{S}_{n}-m{b}_{n}}{{S}_{n}-8m{b}_{n}}$＜$\frac{1}{16}$，
∴$\frac{\frac{1}{7}•{8}^{n+1}-\frac{8}{7}-m•{8}^{n}}{\frac{1}{7}•{8}^{n+1}-\frac{8}{7}-8m•{8}^{n}}$＜$\frac{1}{16}$，
∴$\frac{（\frac{8}{7}-m）•{8}^{n}-\frac{8}{7}}{（\frac{8}{7}-8m）•{8}^{n}-\frac{8}{7}}$＜$\frac{1}{16}$，
∴当m=1时，只需$\frac{\frac{1}{7}•{8}^{n}-\frac{8}{7}}{-\frac{48}{7}•{8}^{n}-\frac{8}{7}}$＜$\frac{1}{16}$成立即可，
又∵n=1是上述不等式的一个解，
∴正整数对（1，1）满足条件，
故答案为：（1，1）．
注：此题答案不唯一．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．