Question

2．求下列函数的值域：y=sin²x-sinx+1，x∈[$\frac{π}{3}，\frac{3π}{4}$]．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的定义域和值域求得sinx的范围，再利用二次函数的性质求得y=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$ 的值域．

解答 解：由x∈[$\frac{π}{3}，\frac{3π}{4}$]，可得sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
对于函数y=sin²x-sinx+1=${（sinx-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$，当sinx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数y取得最小值为$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当sinx=1时，函数y取得最大值1，故函数的值域为[$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．