题目内容
3．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a2+b2-c2-ab=0，若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，则ab的最小值为（ ）| A． | 24 | B． | 12 | C． | 6 | D． | 4 |
分析 由题意和余弦定理可得C的值，进而由面积公式可得c和ab的关系，代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式，解不等式可得．
解答 解：∵a2+b2-c2-ab=0，∴a2+b2-c2=ab，
∴由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$，
∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴$\frac{1}{2}$ab•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，∴c=$\frac{1}{2}$ab，
代入已知式子可得a2+b2-$\frac{1}{4}$（ab）2-ab=0，
∴$\frac{1}{4}$（ab）2+ab=a2+b2≥2ab，
整理可得（ab）2-4ab≥0，
解关于ab的不等式可得ab≥4，或ab≤0（舍去）
当且仅当a=b=2时取到等号，
∴ab的最小值为4，
故选：D．
点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和不等式的解法，属中档题．
练习册系列答案
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| A． | -3 | B． | 3 | C． | -1 | D． | 1 |
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| A． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | -$\frac{1}{2}$ |