题目内容
已知函数f（x）=
sinxcosx-
cos2x+
sin2x-1．（ I ）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=
，f（c）=0，若向量
=（1，sinA）与向量
=（2，sinB）共线，求a、b的值．
【答案】分析：（I）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数，根据平面向量平行时满足的条件得到sinB=2sinA，根据正弦定理得到a与b的关系式，记作①，又根据余弦定理，由c和cosC的值，得到a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．
解答：解：（I）f（x）=
sinxcosx-
cos2x+
sin2x-1
=
sin2x-
cos2x-1
=sin（2x-
）-1
∵x∈[0，
]，∴-
≤2x-
≤
，
∴-
≤sin（2x-
）≤1，
∴函数f（x）的最小值时-
，最大值时0；
（II）由f（C）=0，得到sin（2C-
）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=
，
又∵向量
=（1，sinA）与向量
=（2，sinB）共线，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a2+b2-2abcosC=c2，即a2+b2-ab=3②，
联立①②，解得a=1，b=2．
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域及平面向量平行时满足的条件，是一道中档题．
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数，根据平面向量平行时满足的条件得到sinB=2sinA，根据正弦定理得到a与b的关系式，记作①，又根据余弦定理，由c和cosC的值，得到a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．
解答：解：（I）f（x）=
sinxcosx-cos2x+sin2x-1=
sin2x-cos2x-1=sin（2x-
）-1∵x∈[0，
]，∴-≤2x-≤，∴-
≤sin（2x-）≤1，∴函数f（x）的最小值时-
，最大值时0；（II）由f（C）=0，得到sin（2C-
）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=，又∵向量
=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴sinB-2sinA=0，由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a2+b2-2abcosC=c2，即a2+b2-ab=3②，
联立①②，解得a=1，b=2．
点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域及平面向量平行时满足的条件，是一道中档题．
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